problème 3n+1 et problèmes σ_impair, ς_impair, r₄

Pour tout n naturel non nul on va itérer la fonction de Terras @@\DeclareMathOperator{\assign}{\,\mbox{$:=$}\,}% \mathbf{T(n)} \assign \left\{ \begin{array}{@{}l@{\quad}l@{}} \frac{n}{2} & \text{si }n\text{ est pair}\\ \frac{3n+1}{2} & \text{si }n\text{ est impair}\\ \end{array}\right.@@ [OEIS A014682, A070168]

Les premières itérations en commençant avec 1, 3, 6, 7, 9, 12 ou 15 donnent :
1 → 2 → 1 → …
3 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …
6 → 3 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …
7 → 11 → 17 → 26 → 13 → 20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …
9 → 14 → 7 → 11 → 17 → 26 → 13 → 20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …
12 → 6 → 3 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …
15 → 23 → 35 → 53 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 8 → 4 → 2 → 1 → …

Le constat est que pour tous les naturels non nuls que l’on a essayés, l’itération passe toujours par 1. Le problème 3n+1 (aussi appelé problème ou conjecture 3x + 1, de Collatz, de Syracuse, de Kakutani…) est la conjecture que cela est vrai pour tout les naturels non nuls.

? ∀n ∈ ℕ_*  : T(n) → 1 ?

Parcours des naturels jusque 100 (20 juin 2011) : (42,3 Kio)   .svg (59,3 Kio)

∀ω, k ∈ ℕ  : ω:0…00² = ω.2^k  →^k  ω   donc  ∀ k ∈ ℕ  : 10…00² = 2^k  →^k  1

∀ω, k ∈ ℕ  : ω:1…11² = ω.2^k + 2^k - 1 = (ω + 1).2^k - 1  →^k  ω:2…22³ = ω.3^k + 3^k - 1 = (ω + 1).3^k - 1

Je conjecture, de façon assez similaire, que l’itération de la fonction σ_impair (somme des diviseurs impairs, OEIS A000593) aboutit toujours à son unique point fixe 1 :

? ∀n ∈ ℕ_*  : σ_impair(n) → 1 ?

Vérifié (par calcul) pour les n ≤ 194.835.486.825 ≃ 1,94 × 10¹¹ ≃ 1,4 × 2³⁷

Parcours des naturels jusque 100 (20 juin 2011) : (35,5 Kio)   .svg (50,6 Kio)

(Si cette conjecture est vraie, alors on en déduit directement qu’il n’existe pas de nombre parfait impair.)

Voir Théologie grecque, Sommes et différences p. 51.

Je définis la fonction ς_impair telle que ∀n ∈ ℕ_* : ς_impair(n) = σ_impair(n)/2^k avec k la plus grande valeur telle que 2^k divise _impair(n). Ce qui conduit à la conjecture suivante, évidemment équivalente :

? ∀n ∈ ℕ_*  : ς_impair(n) → 1 ?

Parcours des naturels impairs jusque 101 (9 février 2019) : (14 Kio)   .svg (28,9 Kio)

Sequential and Parallel Numerical Verification of the σ_odd problem (with theoretical results)

Slides de présentation du problème et des résultats Parallel Numerical Verification of the σ_odd problem (15 décembre 2017) sur Speaker Deck

Je conjecture de même que l’itération de la fonction r₄ (ou GR, nombre de représentations en somme de 4 carrés d’entiers, OEIS A000118) aboutit toujours à son unique point fixe 96 :

? ∀n ∈ ℕ : r₄(n) → 96 ?

Vérifié (par calcul) pour les n ≤ 1 000 000

Parcours des naturels jusque 100 (20 juin 2011) : (41,6 Kio)   .svg (72,2 Kio)

@@\forall n \in \mathbb{N}_{\star} : r_4(n) \assign \left\{ \begin{array}{@{}r@{\quad}l@{}} 24\,\sigma_{\text{impair}}(n) & \text{si }n\text{ est pair}\\ 8\,\sigma_{\text{impair}}(n) & \text{si }n\text{ est impair}\\ \end{array}\right.@@

Voir Théologie grecque, Sommes et différences p. 61.

Bien que ces dernières conjectures semblent fortement liées, je ne parviens pas à établir leur équivalence…